Методика обучения учащихся решению олимпиадных задач на основе теории математических бильярдов

СОДЕРЖАНИЕ

Введение…………………………………………………………………………..3

Глава I. Элементы теории математических бильярдов……………………7

1.1 . Понятие математического бильярда………………………………………...7

1.2 . Свойства траекторий…………………………………………………….….10

1.3 . Бильярд в круге……………………………………………………………...12

1.4 . Геометрия прямоугольного бильярда……………………………………..14

1.5 . Бильярд в прямоугольнике и тор……………………………………….….17

1.6 . Бильярды в многоугольниках и многогранниках……………………… ..20

1.6.1. Бильярды в  «торических» многоугольниках…………………………...21

1.6.2. Бильярды в   «рациональных» многоугольниках   и   поверхности…...28

1.6.3.Траектории в рациональных многоугольниках и обмотки кренделей…33

Глава II. Методика решения олимпиадных задач на основе теории математических бильярдов….………………………………………………..38

2.1. Решение задач на переливание жидкостей с помощью бильярдного шара………………………………………………………………………………38

2.2. Организация кружковой работы…………………….………………….….42

2.3. Занятия математического кружка………………………………………… 44

 Заключение……………………………………………………………………...58

Литература………………………………………………………………………60

Приложение 1. Образцы карточек с задачами…………………………………62 

Приложение 2. Методические рекомендации к решению олимпиадных задач на переливание жидкостей на основе теории  математических бильярдов…63

Введение

              Одно из главных направлений реформы общеобразовательной школы – повышение качества образования и воспитания учащихся. Наряду с уроком основной формой учебного процесса в школе является внеклассная работа по определенным предметам. Одним из ведущих направлений такой работы является внеклассная работа по математике. Способствуя глубокому и прочному овладению изучаемым материалом, повышению математической культуры, привитию навыков самостоятельной работы, внеклассная работа развивает интерес к изучению математики и творческие способности школьников.

              Увлечение математикой часто начинается с размышлений над какой-то особенно понравившейся задачей. Она может встретиться и на школьном уроке, и на занятии математического кружка, и в журнале или книжке. Богатым источником таких задач служат различные математические соревнования, такие как: олимпиады – от школьных и городских до международных,  математические бои, математические драки, математический хоккей и математические карусели, которые регулярно проводятся в Иркутске и по всей России. Задачи на переливание жидкостей не редко встречаются на этих соревнованиях [1, 2, 14, 16].

              Математические соревнования имеют большую значимость при решении ряда вопросов, относящихся к проблеме математического образования в нашей стране.

              Одной из важнейших целей проведения математических соревнований является развитие интереса учащихся к математике, привлечение учащихся к занятиям в математических кружках. У учащихся имеется большое желание проверить свои силы, математические способности, умение решать нестандартные задачи. Их привлекает возможность добровольного участия в соревновании, необычность всей обстановки на олимпиаде.

              Олимпиадные задачи позволяют приоткрыть завесу над серьёзной математикой – классической и современной. Отчасти они даже открывают последние математические моды, - они, как и мода на одежду, меняются с годами.

               Проведение олимпиад и других математических соревнований позволяет выявить учащихся, имеющих интерес и склонности к занятия математикой, что весьма важно для решения вопроса о подготовке новых   кадров в области математики и научно-методической работе. 

              Проведение олимпиад и всей внеклассной работы по математике является прекрасным средством повышения деловой квалификации учителей. Чтобы подготовить учащихся к участию в олимпиадах и других математических соревнованиях, учителю математики необходимо вести кружки, проводить большую подготовительную работу, подбирать и решать различные задачи, детально знакомиться с различными вопросами математики, с новинками математической литературы. Подбор материала для кружковых занятий и для олимпиад, подготовка к проведению этих мероприятий являются одной из форм активной работы учителя по повышению своей научно-методической квалификации. Подбор к занятиям математического кружка и к олимпиаде нестандартных, требующих особых приемов решения задач предполагает наличие хороших навыков в этом деле от самого учителя математики. Руководитель кружка тщательно продумывает методику работы над каждой задачей, предлагаемой им кружковцам. На занятиях кружка приходится несколько расширять изучаемый в классе материал курса математики, иногда такое расширение выходит за рамки обязательной программы. Рассмотрение на занятиях кружка таких вопросов неизбежно приводит учителя к необходимости основательного знакомства с этим материалом и с методикой его изложения учащимся.    

              Известны различные формы организации внеклассной работы по математике и часто они направлены на формирование умений учащихся решать нестандартные задачи. Значимость нестандартных задач состоит в том, что они предъявляют настоящий «вызов» интеллекту и способствуют в наибольшей мере его развитию. Однако в большом потоке информации, которая обрушивается на учащихся, изложение материала должно быть четким, логически выстроенным, в кратком изложении. При таком подходе экономится время, которое может быть использовано для решения большого количества задач. Актуальность нашей работы как раз и состоит в рассмотрении одного из способов решения нестандартных задач, раскрытии методики их решения и создание необходимой практической базы для отработки алгоритма их решения. Данная работа способствует подготовке учащихся к участию в различного рода математических соревнованиях, турнирах, олимпиадах.    

              Существует ряд задач, которые решаются на основе теории математических бильярдов, наиболее распространенные из них – задачи на переливание жидкостей. В своей работе мы рассмотрели именно этот тип задач. Этот способ решения задач впервые был предложен Я.И. Перельманом в книге «Занимательная геометрия», Г.А. Гальперин в книге «Математические бильярды» привел теоретическое обоснование данной теории и также предложил способ решения задач на переливание на основе этой теории.

              Цель нашего исследования состоит в изучении теории математических бильярдов и рассмотрении методики применения данной теории к решению задач на переливания жидкостей.

              Данная цель исследования определила постановку следующих задач:

1. изучить  основные понятия и теоремы теории математических бильярдов;
2. проанализировать существующие методические подходы к решению задач на переливания жидкостей;
3. раскрыть методику преподавания решения олимпиадных задач на переливание жидкостей с помощью теории математических бильярдов;
4. подобрать серию задач по данной теме и привести их решения;
5. разработать систему кружковых занятий, направленных на формирование умений учащихся решать задачи на переливание жидкостей на основе теории математических бильярдов.

               Объектом исследования является формирование умений учащихся решать олимпиадные задачи на переливание жидкостей на основе теории математических бильярдов.

              Предмет исследования – методика решения задач на основе теории математических бильярдов.

              Гипотеза исследования: Применение теории математических бильярдов к решению задач на переливание жидкостей способствует формированию умений учащихся решать задач этого типа при помощи данного способа.

              Методологическую основу данной работы составили теоретическое обоснование теории математических бильярдов Григория Александровича Гальперина и Александра Николаевича Землякова,  а также методика, предложенная Яковом Исидоровичем Перельманом.

               В соответствии с поставленными задачами в исследовании используются следующие методы:

• изучение теоретической и методической литературы;
• анализ методической литературы;
• анкетирование учащихся;
• анализ результатов кружковых занятий;

              Новизна работы состоит в обобщении и систематизации теоретического и практического материала по данной теме.

              Практическая значимость исследования заключается в использовании материалов данной работы на внеурочных занятиях по математике в будущей профессиональной деятельности.          

              Данная работа состоит из двух глав и приложения.    

              Первая глава посвящена основным понятиям, теоремам, свойствам теории математических бильярдов. В частности рассмотрены математический бильярд в круге, бильярд в прямоугольнике, в рациональном многоугольнике, т.к. поведение бильярдного шара именно в таких областях позволяет математически строго обосновать приводимые решения  задачи на переливания жидкостей.

Известно, что математики и физики получают огромное удовольствие от игры в бильярд. Причину этого понять несложно: ведь траектория шара, отскакивающего от бортов бильярдного стола, можно рассчитать совершенно строго. Поэтому игра в бильярд послужила предметом серьезных научных исследований по математике и механике. Известны различные варианты игры на бильярде. Например, так называемый французский бильярд вообще не имеет луз. (При игре во французский бильярд нужно попасть в заданный шар после нескольких столкновений с другими шарами.) Французский бильярд и послужил прообразом математического бильярда.

              Итак, Математическим бильярдом называется механическая система состоящая из горизонтального бильярдного стола произвольной формы, без луз, по которому без трения движется точечный шар, абсолютно упруго отражаясь от бортов.  

              Теория математических бильярдов является основой методики решения олимпиадных задач некоторых типов, в частности задач на переливание жидкостей. Во второй главе мы рассмотрели методику решения таких задач.

              Анализ специальной литературы позволил выявить следующие способы решения задач на переливание жидкостей: метод проб и ошибок, аналитический способ решения, с помощью теории математических бильярдов[6, 4, 13, 20].

              Наиболее часто на практике задачи на переливание жидкостей решаются методом проб и ошибок. Однако такой способ мало эффективен, т.к., в силу отсутствия какого-либо алгоритма, не возможно научить решать задачи такого типа любого ученика.

              Другой способ – аналитический, предложен И.Ф. Шарыгиным. Автор предлагает решение задач на переливание жидкостей начинать с конца и с помощью цепочки логических рассуждений прийти к ответу. Однако таким способом легко решать задачи с небольшим количеством переливаний. Задачи более сложного содержания решать этим способом не просто.

              Третий способ решения задач на переливание – с помощью теории математических бильярдов. Преимущество данного способа в его алгоритмичности, наглядности, простоте решения (при условии его освоении), универсальности – является пропедевтическим для решения ряда задач другого типа. Во второй главе мы описали методику решения задач этого типа, основа, которой предложена в книге Я. И. Перельмана «Занимательная геометрия» и Г. А. Гальперина «Математические бильярды» на примере конкретной задачи [4, 13].

              Данную методику мы апробировали на занятиях математического кружка, разработки которых также представлены во второй главе. 

              Приложение содержит учебно-методические рекомендации, освещающие методику решения задач на переливание жидкостей на основе теории математических бильярдов, подборку задач данного типа и их решение.

              Новизна и ценность нашей работы заключается в следующем: был обобщен и систематизирован материал по теоретическому и методическому освещению метода математических бильярдов; была осуществлена подборка значительного количества практических задач  с приведением их решений, что позволило разработать учедно-методические рекомендации для учащихся.