Контрольная работа по математике (часть 2)

Номер варианта выбирается по последней цифре зачетной книжки. 

Задание №1. Решить задачу.

Вариант 1.

В лотерее 1000 билетов. Половина из них - выигрышные. Куплено два билета. Какова вероятность, что они выигрышные?

Вариант 2.

Монету подбрасывают 6 раз. Какова вероятность того, что герб выпадет не более 3-х раз?

Вариант 3.

В урне 10 шаров, 6 белых и 4 черных. Наудачу вынимают три шара. Какова вероятность, что среди них окажется один черный шар?

Вариант 4.

Имеется три одинаковые урны. В первой находится 10 белых и 10 черных шаров, во второй – 20 белых и 5 черных, в третьей –5 белых и 8 черных. Из наугад выбранной урны достают шар. Он оказался белый. Какова вероятность того, что он вынут из первой урны?

Вариант 5.

Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,75, для второго – 0,8, для третьего – 0,9. Определить вероятность того, что хотя бы один из них попадет в цель.

Вариант 6.

В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули подряд 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну и перед извлечением следующего тщательно перемешивают. Какова вероятность того, что из 4 вынутых 2 будут белыми?

Вариант 7.

Имеется три одинаковые урны. В первой находится 10 белых и 10 черных шаров, во второй – 20 белых и 5 черных, в третьей –5 белых и 8 черных. Из наугад выбранной урны достают шар. Какова вероятность того, что он белый?

Вариант 8.

В первом ящике 2 белых и 10 черных шаров; во втором 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность, что оба шара белые?

Вариант 9.

В ящике 6 белых и 8 черных шаров. Из ящика вынули два шара (не возвращая их обратно). Какова вероятность того, что оба шара белые?

Вариант 10.

На карточках написаны цифры от 0 до 9. Наудачу последовательно вынимают три карточки. Какова вероятность, что получится число 123?

Задание №2. «Свойства вероятностей»

Вариант 1

В фирме 550 работников, 380 из них имеют высшее образование, 412 — среднее специальное образование, у 357 — высшее и среднее специальное образование. Чему равна вероятность того, случайно выбранный работник не имеет ни высшего, ни среднего специального образования?

Вариант 2

 Вероятность того, что потребитель увидит рекламу определенного продукта по одному из трех телевизионных каналов, равна 0.05. Предполагается, что эти события независимы в совокупности. Чему равна вероятность того, что потребитель увидит рекламу а) по всем трем каналам; б) хотя бы по одному из этих каналов?

Вариант 3

Модельер, разрабатывающий новую коллекцию одежды к весеннему сезону, создает модели в белой, черной и красной цветовой гамме. Вероятность того, что белый цвет будет в моде весной, модельер оценивает в 0.3, черный — в 0.2, а вероятность того, что будет моден красный цвет — в 0.15. Предполагая, что цвета выбираются независимо друг от друга, оцените вероятность того, что цветовое решение коллекции будет удачным хотя бы по одному из выбранных цветов.

Вариант 4

Компания, занимающаяся строительством терминалов для аэропортов, надеется получить контракт в стране A с вероятностью 0.4, вероятность заключить контракт в стране B равна 0.3. Вероятность того, что контракты будут заключены и в стране A, и в стране B, равна 0.12. Чему равна вероятность того, что компания получит контракт хотя бы в одной стране?

Вариант 5

Город имеет три независимых резервных источника электроэнергии для использования в случае аварийного отключения постоянного источника электроэнергии. Вероятность того, что любой из трех резервных источников будет доступен при отключении постоянного источника, составляет 0.8. Какова вероятность того, что не произойдет аварийного отключения электроэнергии, если выйдет из строя постоянный источник?

Вариант 6

Покупатель может приобрести акции двух компаний A и B. Надежность компании A оценивается экспертами с вероятностью 0.9, надежность компании B — 0.8. Чему равна вероятность того, что а) обе компании не станут банкротами; б) наступит хотя бы одно банкротство?

Вариант 7

Эксперты торговой компании полагают, что покупатели, обладающие пластиковой карточкой этой компании, дающей право на скидку, обратятся за покупкой товара в ее магазины с вероятностью 0.9. Если это произойдет, обладатель пластиковой карточки приобретет необходимый ему товар с вероятностью 0.8. Какова вероятность того, что обладатель пластиковой карточки торговой компании приобретет необходимый ему товар в ее магазинах?

Вариант 8

В городе три коммерческих банка, оценка надежности которых — 0.95, 0.90 и 0.85 соответственно. В связи с определением хозяйственных перспектив развития города  администрацию интересуют ответы на следующие вопросы: а) какова вероятность того, что в течение года обанкротятся все три банка; б) что обанкротится хотя бы один банк?

Вариант 9

Инвестор предполагает, что в следующем периоде вероятность роста цены акций компании A будет составлять 0.7, а компании B — 0.4. Вероятность того, что цены поднимутся на те и другие акции, равна 0.28. Вычислите вероятность роста акций хотя бы одной компании.

Вариант 10

Вероятность того, что покупатель, собирающийся приобрести компьютер и пакет прикладных программ, приобретет только компьютер, равна 0.15, только пакет программ — 0.1. Вероятность того, что будет куплен и компьютер, и пакет программ, равна 0.05. Чему равна вероятность того, что будет сделана хотя бы одна покупка?

Задание №3. «Формула полной вероятности и формула Байеса»

Вариант 1

Директор компании имеет два списка с фамилиями претендентов на работу. В первом списке — фамилии шести женщин и четырех мужчин. Во втором списке оказалось четыре женщины и семь мужчин. Фамилия одного из претендентов случайно переносится из первого списка во второй. Затем фамилия одного из претендентов случайно выбирается из второго списка. Оказалось, что эта фамилия принадлежит мужчине. Какова вероятность того, что из первого списка была перенесена фамилия женщины?

Вариант 2

Агент по недвижимости пытается продать участок земли под застройку. Он полагает, что участок будет продан в течение полугода с вероятностью 0.9, если экономическая ситуация в регионе не будет ухудшаться. Если же экономическая ситуация будет ухудшаться, то вероятность продать участок составит 0.5. Экономист, консультирующий агента полагает, что с вероятностью, равной 0.7, экономическая ситуация в регионе в течение ближайшего полугода будет ухудшаться. Чему равна вероятность того, что участок будет продан в течение полугода?

Вариант 3

Среди студентов университета 30 % первокурсников, 35 % студентов учатся на втором курсе, остальные — старшекурсники. По данным деканатов известно, что на первом курсе 20 % студентов сдали сессию только на отличные оценки, на втором — 30 %, среди старшекурсников 40 % отличников. Наудачу вызванный студент оказался отличником. Чему равна вероятность того, что он — старшекурсник?

Вариант 4

Нефтеразведочная экспедиция проводит исследования для определения вероятности наличия нефти на месте предполагаемого бурения скважины. Исходя из результатов предыдущих исследований, нефтеразведчики считают, что вероятность наличия нефти на проверяемом участке равна 0.4. На завершающем этапе разведки проводится сейсмический тест, который имеет определенную степень надежности: если на проверяемом участке есть нефть, то тест укажет на ее наличие в 85 % случаев; если нефти нет, то в 10 % случаев тест может ошибочно указать ее наличие. Сейсмический тест указал на присутствие нефти. Чему равна вероятность того, что запасы нефти на данном участке существуют в действительности?

Вариант 5

Экспортно-импортная фирма собирается заключить контракт на поставку оборудования в одну из развивающихся стран. Если основной конкурент фирмы не станет одновременно претендовать на заключение контракта, то вероятность получения контракта оценивается в 0.45, в противном случае — в 0.25. По оценкам экспертов компании вероятность того, что конкурент выдвинет свои предложения по заключению контракта, равна 0.4. Чему равна вероятность заключения контракта?

Вариант 6

Экономист-аналитик условно подразделяет экономическую ситуацию в стране на «хорошую», «посредственную» и «плохую» и оценивает их вероятности для данного момента времени в 0.15, 0.7 и 0.15 соответственно. Некоторый индекс экономического состояния возрастает с вероятностью 0.6, когда ситуация «хорошая»; с вероятностью 0.3, когда ситуация «посредственная», и с вероятностью 0.1, когда ситуация «плохая». Пусть в настоящий момент индекс экономического состояния возрос. Чему равна вероятность того, что экономическая ситуация «хорошая»?

Вариант 7

При слиянии акционерного капитала двух фирм аналитики фирмы, получающей контрольный пакет акций, полагают, что сделка принесет успех с вероятностью 0.65, если председатель совета директоров поглощаемой фирмы уйдет в отставку; если он откажется, что вероятность успеха будет равна 0.3. Предполагается, что вероятность ухода в отставку председателя составляет 0.7. Чему равна вероятность успеха сделки?

Вариант 8

На химическом заводе установлена система аварийной сигнализации. Когда возникает аварийная ситуация, звуковой сигнал срабатывает с вероятностью 0.95. Звуковой сигнал может сработать случайно и без аварийной ситуации с вероятностью 0.02. Вероятность аварийной ситуации равна 0.004. Предположим, что звуковой сигнал сработал. Чему равна вероятность реальной аварийной ситуации?

Вариант 9

Вероятность того, что клиент банка не вернет заем в период экономического роста, равна 0.04, а в период экономического кризиса — 0.13. Предположим, вероятность, что начнется период экономического роста, равна 0.65. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный клиент банка не вернет полученный кредит?

Вариант 10

Исследованиями психологов установлено, что мужчины и женщины по-разному реагируют на некоторые жизненные обстоятельства. Результаты исследований показали, что 70 % женщин позитивно реагируют на изучаемый круг ситуаций, в то время как 40 % мужчин реагируют на них негативно. Свое отношение к предполагаемым ситуациям отразили в анкете 15 женщин и 5 мужчин. Случайно извлеченная анкета содержит негативную реакцию. Чему равна вероятность того, что ее заполнял мужчина?

Задание №4. «Формула Бернулли» и теоремы Лапласа

Вариант 1

Монету бросают пять раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет: а) менее двух раз.

Вариант 2

Монету бросают семь раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет не менее трех раз.

Вариант 3

Найти вероятность того, что событие А появится не менее трех раз в четырех независимых испытаниях, если вероятность появления события А в одном испытании равна 0,4;

Вариант 4

Устройство состоит из трех независимо работающих основных элементов. Устройство отказывает, если откажет хотя бы один элемент. Вероятность отказа каждого элемента за время t равна 0,1. Найти вероятность безотказной работы устройства за время t

Вариант 5

В семье пять детей. Найти вероятность того, что среди этих детей два мальчика. Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51.

Вариант 6

В семье пять детей. Найти вероятность того, что среди этих детей не более двух мальчиков. Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51.

Вариант 7

В семье пять детей. Найти вероятность того, что среди этих детей: более двух мальчиков. Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51.

Вариант 8

В семье пять детей. Найти вероятность того, что среди этих детей не менее двух и не более трех мальчиков. Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51.

Вариант 9

Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 70 раз в 243 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,25.

Вариант 10

Вероятность появления события в каждом из 2100 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие появится не менее 1470 и не более 1500 раз;

Задание №5. Закон распределения случайной величины

Вариант 1

Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

Вариант 2

В партии 10% нестандартных деталей. Наудачу отобраны четыре детали. Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины X—числа нестандартных деталей среди четырех отобранных. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

Вариант 3

Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины X—числа появлений «герба» при трех бросаниях монеты. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

Вариант 4

Две игральные кости одновременно бросают два раза. Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины X—числа выпадений четного числа очков на двух игральных костях. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

Вариант 5

Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,3. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

Вариант 6

В партии 20% нестандартных деталей. Наудачу отобраны четыре детали. Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины X—числа нестандартных деталей среди четырех отобранных. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

Вариант 7

Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины X—числа появлений «герба» при четырех бросаниях монеты. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

Вариант 8

Две игральные кости одновременно бросают два раза. Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины X—числа выпадений нечетного числа очков на двух игральных костях. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

Вариант 9

Устройство состоит из четырех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

Вариант 10

В партии 10% нестандартных деталей. Наудачу отобраны шесть деталей. Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины X—числа нестандартных деталей среди шести отобранных. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.