Методичка с формулами тут

Задание и методические указания

 

к контрольной работе по дисциплине

«Экономико-математические методы и модели в экономике»

для студентов заочной формы обучения  специальности 080502

«Экономика и управление на предприятии

(железнодорожный транспорт)»

 

 

 

 

 

 

Составитель: Герасимова Е.А.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Самара 2005

 

 

УДК 330.43(075.8)

 

 

Заданиe и методические указания к контрольной работе по эконометрике для студентов заочной формы обучения специальности 080502 «Экономика и управление на предприятии (железнодорожный транспорт)». – Самара: САМГАПС, 2005.– 23 с.

 

 

Утверждено на заседании кафедры 1 декабря 2004 г., протокол №5.

Печатается по решению редакционно-издательского совета академии.

 

 

 

 

Данная методическая разработка содержит задание и методические указания по выполнению контрольной работы для студентов заочного отделения по специальности 080109 по разделам: парная регрессия и корреляция; динамические ряды.

 

 

 

 

Составитель: Герасимова Елена Анатольевна – доцент кафедры «'Бухгалтерский учет, анализ и статистика»

 

 

 

 

Рецензенты: Максимов В.В. – к.т.н., доцент СГАУ.

                            Паняев В.А. – к.т.н., доцент кафедры ''Высшая математика'' СамГАПС.

 

 

 

 

Редактор: И.А. Шимина

Компьютерная верстка: Егоров А.А.

 

 

 

Подписано в печать 06.04.05. Формат 60х90 1/16.

Бумага писчая. Печать оперативная. Усл. п.л. 1,4.

Тираж 150 экз. Заказ № 43.

 

 

 

© Самарская государственная академия путей сообщения, 2005

1. 1.     ПАРНАЯ РЕГРЕССИЯ И КОРРЕЛЯЦИЯ

 

1.1  Теоретические сведения

 

Парная регрессия – уравнение связи двух переменных y и x:

,

 

где – зависимая переменная (результативный признак),

 – независимая, объясняющая переменная (признак-фактор).

     Различают линейные и нелинейные регрессии.

     Линейная регрессия: .

Нелинейные регрессии делятся на два класса: регрессии, нелинейные относительно включенных, но линейные по оцениваемым параметрам, и регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

Регрессии, нелинейные по объясняющим переменным:

-         полиномы разных степеней

;

-         равносторонняя гипербола .

Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам:

-         степенная ;

-         показательная ;

-         экспоненциальная .

Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров. Для оценки параметров регрессий, линейных по параметрам, используют метод наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонения фактически значений результативного признака  от теоретических  минимальна, то есть .

         Для линейных и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, решается следующая система относительно  и :

 

 

         Тесноту связи изучаемых явлений оценивает линейный коэффициент парной корреляции   для линейной регрессии :

,

и индекс корреляции - для нелинейной регрессии

.

         Оценку качества построенной модели дает коэффициент (индекс) детерминации, а также средняя ошибка аппроксимации.

         Средняя ошибка аппроксимации – среднее отклонение расчетных значений от фактических:

.

Допустимый предел значений - не более 8 – 10 %.

Средний коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменяется результат  от своей средней величины при изменении фактора  на 1 % от своего среднего значения:

 

Поскольку коэффициенты эластичности представляют экономический интерес, в таблице приведены формулы расчета коэффициентов эластичности для наиболее распространенных типов уравнений регрессии.

Таблица

Коэффициенты эластичности для ряда математических функций

 

         Задача дисперсионного анализа состоит в анализе дисперсии зависимой переменной:

 

где - общая сумма квадратов отклонений;

      - сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией («объясненная» или «факторная»);

       - остаточная сумма квадратов отклонений.

         Долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака характеризует коэффициент (индекс) детерминации :

 

 

     Коэффициент детерминации – квадрат коэффициента или индекса корреляции.

– тест – оценивает качество уравнения регрессии – состоит в проверке гипотезы  о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического   и критического (табличного)  значений  – критерия Фишера.  определяется из соотношения значений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы:

 

где - число единиц совокупности;

 - число парметров при переменных .

          – это максимальное возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости . Уровень значимости - вероятность отвергнуть правильную гипотизу при условии, что она верна. Обычно  принимается равной 0,05 или 0,01.

         Если то - гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность. Если то гипотиза не отклоняется и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.

         Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции расчитывается - критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Выдвигается гипотеза о случайной природе показателей, то есть о незначимом их отличии от нуля. Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью - критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки:

 

         Случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции определяются по формулам:

 

 

 

 

 

         Сравнивая фактическое и критическое (табличное) значение - статистики - и - принимаем или отвергаем гипотезу .

         Связь между – критерием Фишера и - статистикой Стьюдента выражается равенством

 

         Если , то отклоняется, то есть и не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора . Если , то гипотеза не отклоняется и признается случайная природа формирования и .

         Для расчета доверительного интервала определяем предельную ошибку для каждого показателя:

     .

 

                Формулы для расчета доверительных интервалов имеют следующий вид

 

       .

         Если в границы доверительного интервала попадает ноль, то есть нижняя граница отрицательна, а верхняя положительна, то оцениваемый параметр принимается нулевым, так как он не может одновременно принимать и положительное, и отрицательное значение.

         Прогнозное значение   определяется путем подстановки в уравнение регрессии соответствующего (прогнозного) значения . Вычисляется средняя стандартная ошибка прогноза

 

 

и строится доверительный интервал прогноза:

 

1.2           Пример

По группе предприятий, выпускающих один и тот же вид продукции, рассматривается функция издержек:

 

где - издержки производства (тыс. д. е.);

      - объем выпуска продукции (тыс. ед.).

      Исходные данные и вспомогательные вычисления для расчета оценок параметров и приведены в табл. 1.

Таблица 1

 

         Система нормальных уравнений МНК будет иметь вид

 

         Решая ее, получим:

 

 

         Тогда, уравнение регрессии

 

         Подставив в уравнение значения х, получим теоретические значения (последний столбец табл. 1).

         Коэффициент регрессии показывает, что при увеличении выпуска продукции на 1 тыс. единиц, затраты на производство по группе предприятий возрастут в среднем на 36,6 тыс. д. е.

         То, что , соответствует опережению изменения результата над изменением фактора.

         В рассматриваемом примере имеем

 

 

         Величина линейного коэффициента корреляции

 

что достаточно близко к 1 и означает наличие очень тесной зависимости затрат на производство от величины объема выпущенной продукции.

         Для оценки качества линейной функции рассчитаем коэффициент детерминации

 

         Следовательно, уравнением регрессии объясняется 97,6 % дисперсии результативного признака, а на долю прочих факторов приходится лишь 2,4 % его дисперсии (то есть остаточная дисперсия).

         Так как близок к 1, следовательно, линейная модель хорошо аппроксимирует исходные данные и ее можно использовать для прогноза значений результативного признака.

         Для оценки существенности линейной регрессии рассчитаем:

1. Общая сумма квадратов отклонений результативного признака

.

1. Факторная сумма квадратов

.

1. Остаточная сумма квадратов

.

1. Факторная дисперсия

.

1. Остаточная дисперсия

.

F – критерий

         Табличное значение критерия для числа степеней свободы и уровня значимости = 0,05 равно

         Поскольку  (161,64>6,61), то можно сделать вывод о значимости уравнения регрессии (связь доказана). Оценка значимости уравнения регрессии обычно делается в виде таблицы дисперсного анализа.

Таблица 2

Дисперсный анализ результатов регрессии

 

 

         Так как в линейной регрессии оценивается значимость не только уравнения в целом, но и отдельных его параметров, рассчитаем по каждому параметру стандартные ошибки: и корреляции

;

;

.

         Фактическое значение критерия Стьюдента:

 

.

         Проверим справедливость равенства:

 

(расхождения за счет округления).

         При числе степеней свободы и уровне значимости = 0,05 табличное значение

         Так как  (2,57<12,71), то, следовательно, гипотезу о несущественности коэффициента регрессии можно отклонить. Доверительный интервал для коэффициента регрессии определяется как . 95 %-ные границы составят:

;

.

         Так как  то принимаем и считаем параметр случайно отличным от нуля.

 

         (14,11>2,57), следовательно, коэффициент корреляции существенно отличен от нуля и зависимость является достоверной.

         Для определения интервала прогноза по линейному уравнению регрессии рассчитаем:

1. Точечный прогноз при прогнозном , составляющем 190 % от среднего уровня.

;

.

1. Средняя стандартная ошибка прогноза

.

         Для прогнозируемого 95 %-ный доверительный интервал при заданном определяется выраженным:

;

;

.

         Чтобы иметь общее суждение о качестве модели определим среднюю ошибку аппроксимации:

,

что говорит о хорошем качестве уравнения регрессии, так как ошибка в пределах 5 - 7 % свидетельствует о хорошем подборе модели к исходным данным.

 

1.3  Задание к задаче № 1

 

По группе предприятий, выпускающих один и тот же вид продукции, рассматривается функция издержек:

,

где - затраты на производство, тыс. д. е.

      - выпуск продукции, тыс. ед.

      1 Задача

 

 

 

Требуется:

1. Построить линейное уравнение парной регрессии от .
2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и коэффициент детерминации. Сделать выводы.
3. Оценить статистическую значимость уравнения регрессии в целом.
4. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции.
5. Выполнить прогноз затрат на производство при прогнозном выпуске продукции, составляющем 195 % от среднего уровня.
6. Оценить точность прогноза, рассчитать ошибку прогноза и его доверительный интервал.
7. Оценить модель через среднюю ошибку аппроксимации.

 

 

2         ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ПО РЯДАМ ДИНАМИКИ

 

2.1  Теоретические сведения

 

Наряду с корреляционными моделями для предсказания будущего хода экономических процессов используются методы прогнозирования на основе динамических рядов.

Динамическим (временным) рядом называется последовательность численных значений, характеризующих изменение экономического явления или процесса во времени. В зависимости от способа регистрации наблюдений ряды динамики подразделяются на дискретные и непрерывные.

Дискретные ряды получаются при регистрации данных через определенные промежутки времени – месяц, квартал и год и т.д. Различают следующие виды дискретных динамических рядов: моментные, интервальные и ряды средних.

Моментные ряды представляют собой последовательность величин, относящихся к определенным датам, моментам времени. Интервальными называются ряды, характеризующие размеры исследуемого явления за определенные промежутки времени – интервалы, периоды.

Ряды средних величин характеризуют изменение средних уровней исследуемого явления или процесса во времени.

Непрерывные ряды получаются в том случае, если ведется непрерывная запись изменения процесса с помощью различных приборов.

При анализе рядов динамики пользуются статистическими показателями, определяющими характер, направление и интенсивность качественных изменений экономических явлений или процессов. К ним относятся уровень ряда, средний уровень, абсолютные приросты или конечные разности, темпы роста и прироста, тренд.

Уровень ряда – это каждый член ряда динамики. Средний уровень может определяться в зависимости от характера ряда как средняя арифметическая или геометрическая.

Абсолютный прирост характеризует изменение исследуемого явления и определяется разностью двух уровней. Различают базисные и ценные показатели прироста. Базисные приросты – это разности между любым членом ряда и одним и тем же первоначальным уровнем:

,

где - уровень ряда в период ;

      - уровень ряда в базисный (первый) период.

      Ценные абсолютные приросты получаются как разности текущего и предыдущего уровней:

.

         Темп роста представляет собой отношение двух уровней ряда динамики. Он может быть базисным и ценным :

 

         Темп прироста – это отношение абсолютного прироста к базисному или предыдущему уровню.

         Трендом называется основная тенденция изменения явления. Обычно считают, что основная тенденция есть результат влияния комплекса факторов, действующих постоянно на изучаемые явления или процессы в течение длительного периода, то есть она характеризуется детерминированной компонентой динамического ряда.

         Для установления общей тенденции изменение экономических явлений в течение изучаемого периода времени проводят сглаживание (выравнивание) ряда динамики. Необходимость сглаживания обусловлена тем, что помимо влияния на уровни ряда главных факторов, которые и формируют конкретный вид неслучайной компоненты (тренда), на них действуют случайные факторы, которые в свою очередь вызывают отклонения фактических уровней от тренда. Результат этого суммарного воздействия может быть выражен моделью вида

 

где - функция времени, называемая трендом;

      - случайная компонента.

      Тенденция определяется различными методами: конечных разностей, наименьших квадратов, полиномов Лагранжа, авторегрессии, логистической кривой.

         Модель логистической кривой дает хорошие результаты прогнозирования для динамического ряда с уровнями, которые изменяются с уменьшающимися к концу ряда приращениями. Один из ее вариантов имеет вид

 

 

где - номер уровня ряда динамики (= 0,1,…, );

      - параметры модели для данного ряда.

         Алгоритм выравнивания по этому методу заключается в следующем. Весь динамический ряд разбивается на три равных отрезка, для которых вычисляются итоги:

 

 

где - число членов каждого отрезка ряда.

         Находятся первые разности между итогами:

 

         Параметры кривой рассчитываются по формулам:

 

 

         К числу наиболее распространенных методов прогнозирования по одному ряду динамики, легко реализуемых с вычислительной точки зрения, относятся методы экспоненциального сглаживания, гармонического анализа и авторегрессии.

         В основе метода экспоненциального сглаживания лежит расчет экспоненциальных средних. Алгоритм его базируется на рекуррентной формуле

 

,

где - значение экспоненциальной средней в момент ;

       - параметр сглаживания,

       Выражение можно записать

 

где - число членов ряда;

      - некоторая величина, характеризующая начальные условия при

      Значение оказывается взвешенной суммой всех членов ряда. Причем веса падают экспоненциально в зависимости от давности уровня ряда. Если, например, то текущее наблюдение будет иметь вес 0,3, а веса предыдущих уровней ряда составят соответственно 0,21; 0,147; 0,1029 и т.д.

         Прогнозная модель имеет вид

 

где - прогноз, сделанный в момент , в результате корректировки предыдущего прогноза с учетом его ошибки.

         Экспоненциальное сглаживание временных рядов – модификация метода наимень­ших квадратов для анализа временных рядов, при котором более поздним наблюдениям придается больший вес. Иными словами, веса уровней ряда убывают по мере удаления в прошлое.

         Метод гармоничного анализа применяется для прогнозирования динамики экономических процессов, основная тенденция которых содержит периодическую компоненту ряда. Он позволяет выделить данную составляющую и оценить ее параметры.

         Одной из модификаций этого метода является метод гармонических весов. Больший вес приписывается более поздним наблюдениям динамики. Весь временной ряд разбивается на несколько равных, последовательно перекрывающих друг друга отрезков. В отрезок обычно входит пять уровней. Для их выравнивания используется модель прямой линии. Таким образом, непрерывные изменения исследуемого процесса описываются семейством прямых.

         Если данный год ряда динамики перекрыт несколькими отрезками, то для него находится несколько расчетных значений и из них определяется среднее значение уровня.

         Затем находится прирост расчетной величины. Каждому приросту присваивается свой вес, обратно пропорциональный месту, занимаемому во временном ряду.

         Каждый год ряда динамики получает свою поправку. Поправка для второго года:

 

где - число уровней ряда.

         Остальные поправки:

 

где

         Поправки позволяют рассчитать вес каждого значения прироста:

 

         Необходимым условием метода гармонических весов, как и метода экспоненциального сглаживания, является равенство суммы весов единице:

 

         Суммированием произведений прироста на его вес определяется средний гармонический прирост. Он добавляется к расчетной величине уровня последнего года динамики, в результате чего получается прогнозная величина на год вперед. Таким образом, метод гармонических весов отражает, прежде всего, тенденцию ближайшего прошлого.

 

2.2  Примеры

 

Модель логической кривой

 

Определить параметры модели прогноза, соответствующей типу логической кривой, экстраполировать значение технической скорости движения грузовых поездов N – й железной дороги. Динамический ряд изменения величин этого показателя  приведен в таблице.

Таблица