Методика осуществления поиска решения задач методом ГМТ

Содержание.

Введение......................................................................................................…..3

Глава I. Задачи на построение..................................................................…...9

1.1.    Конструктивная геометрия................................................................…..9

1.1.1.  Общие аксиомы конструктивной геометрии................................…...9

1.1.2.  Дополнительные замечания об аксиомах конструктивной геометрии.14

1.1.3.  Инструменты геометрических построений…………………….…..17

1.2.    Задачи на построение.............................................................................20

1.2.1.  Использование инструментов геометрических построений при решении задач…………………………………………………………….…20

1.2.2.  Элементарные геометрические задачи на построение……….…...25

1.3.  Методы решения задач на построение.................................................26

1.4.  Геометрические места точек.........................................................…....28

Глава II. Методика решения геометрических задач на построение……..34

2.1.   Этапы решения задач на построение....................................................34

2.2.   Этап анализа............................................................................................43

2.3.   Метод геометрических мест точек........................................................47

2.4.   Методика в зависимости от возрастных особенностей.......................51

Глава III. Поиск решения задач…………………………………………….58

3.1. Задачи на построение 7 класс, 8 класс, 9 класс.....................................58

3.2.  Этап анализа в задаче на построение.....................................................61

Заключение.......................................................................................................64

Список литературы..........................................................................................65

Приложение

Введение.

Геометрические построения привлекли внимание древнегреческих математиков еще в VI-V в.в. до нашей эры. Ими занимались почти все крупные греческие геометры: Пифагор (VI в. до н.э.) и его ученики, Гиппократ (V в. до н.э.), Евклид, Архимед, Аполлоний (III в. до н.э.), Папп (III в. до н.э.) и многие другие.

Они рассматриваются разными методами, как наиболее распространенное, встречающееся метод геометрических точек. В IV в. до н.э. греческие мыслители разработали ту общую схему решения геометрической задачи на построение (анализ - построение - доказательство - исследование), которой мы пользуемся поныне. Основным этапом решения задач является анализ. В анализе осуществляется поиск решения задач.

Метод геометрических мест точек заключается в том, что какая-то фигура Ф₁ обладает другими свойствами и находя пересечение фигуры Ф₁ и Ф₂ находим те элементы, которыми обладают свойствами фигуры Ф₁ и свойствами фигуры Ф₂. Чаще всего это точка или несколько точек. Например, задача из учебника Атанасяна. Даны три точки А, В, С. Построить точку X, которая одинаково удалена от точек А и В и находится на данном расстоянии от точки С.

Решение: Искомая точка X удовлетворяет двум условиям:

1)   

она одинаково удалена от точек А и В;

2)   

она находится на данном расстоянии от точки С.

 Геометрическое место точек, удовлетворяющих первому условию, есть прямая, перпендикулярная отрезку АВ и проходящая через его середину (рис. 1’).

Геометрическое место точек, удовлетворяющих второму условию, есть окружность данного радиуса с центром в точке С. Искомая точка X лежит на пересечении этих геометрических мест.

Геометрические задачи на построение всегда вызывали у учащихся затруднение, данная тема является актуальной и в современной школе, так как происходит введение нового учебника по геометрии для 7-9 классов авторов Вернер А.Л., Ходот Т.Г., Рыжик В.Н., в котором вопрос геометрических построений актуален тем более, что учебник объединяет два раздела геометрии: планиметрию и стереометрию. Также современная школа направлена на развитие творческой личности учащихся, поэтому методика проведения анализа задач на построение должна развивать мыслительную деятельность учащихся и учитывать возрастные особенности.

Моя дипломная работа носит теоретико-практический характер. Объектом моей работы являются геометрические задачи на построение методом геометрических мест точек. Предметом работы будет методика проведения этапа анализа задач на построение, в котором осуществляется поиск решения данной задачи.

Цель работы - осуществление методики проведения этапа анализа задач на построение на уроках геометрии методом геометрических мест точек.

Для достижения цели поставлены следующие задачи:

1.   Изучить математическую литературу по вопросам: геометрические места точек, метод геометрических мест точек, задача на построение.

2.   Изучить методическую литературу по вопросам: методика решения задач на построение, особенности методики решения задач на построение в зависимости от возрастных особенностей учащихся.

3.   Применение данной методики для проведения  этапа анализа решения задач на построение.

4.  Разработать серию уроков с применением методики поиска решения задач на этом этапе анализа для 7-го класса по теме «Задачи на построение».

Гипотеза: Итак, правильно выстроенный этап анализа задач на построение

методом   геометрических  мест точек  с  учетом   возрастных  особенностей учащихся ведет к нахождению решения задач.

Моя дипломная работа состоит из 3-х глав. В главе I я рассмотрел раздел конструктивной геометрии, в котором изучаются геометрические построения. Основным понятием конструктивной геометрии является понятие - построить геометрическую фигуру. Конкретный его смысл известен из практики, где оно означает то же, что «начертить» (линию), «провести» (прямую или окружность), «отметить» (точку) и т.п. В интересах логической строгости изложения необходимо четко формулировать те основные требования (постулаты), которыми характеризуются геометрические построения. Эти требования обычно не формулируются в условиях школьного курса элементарной геометрии, но они подразумеваются в процессе решения любой геометрической задачи на построение. Также нужно определить, что такое задачи на построение, какие есть методы решения этих задач. Я выделяю метод геометрических мест точек в силу его распространенности, т.к. большинство задач в школьных учебниках решаются именно с помощью данного метода. Изучив математическую литературу по вопросу «геометрические места точек» (Александров И.И., Аргунов Б.И., Балк М.Б.), я выделяю такие виды геометрических мест точек (по учебнику Атанасяна):

1.   Множество точек плоскости, равноудаленных от двух данных точек А и В, серединный перпендикуляр отрезка АВ.

2.   Множество  точек,   находящихся  на  данном  расстоянии   от  данной прямой, есть две прямые, параллельные данной и отстоящие от нее на данном расстоянии.

3.   Множество   точек,   равноудаленных   от  двух  данных   параллельных прямых, есть прямая, являющаяся их осью симметрии.

4.   Множество точек, равноудаленных от двух данных пересекающихся прямых,  есть две  взаимно  перпендикулярные  прямые,  содержащие биссектрисы углов, образованных данными прямыми.

5. Множество точек плоскости, из которых данный отрезок АВ виден под прямым углом, есть окружность (без точек А и В), построенная на отрезке АВ как на диаметре.

6.   Множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки О, есть окружность с центром в точке О.

7.   Множество точек плоскости, из которых отрезок АВ виден под данным углом а.

В главе II я рассматриваю методику решения задач на построение, которая выделяет 4 этапа решения задач, а именно: анализ, построение, доказательство и исследование. Основным этапом решения задачи является этап анализа, т.к. на данном этапе осуществляется поиск решения задачи, и главная цель учителя - правильно его провести.

Методика решения задач на построение различна в зависимости от возрастных особенностей учащихся. Это связано с мышлением данного возраста. И.В. Дубровин, Е.Е. Данилова, A.M. Прихожан в своей книге «Психология» различает три основных вида мышления: предметно-действенное, наглядно-образное и абстрактное. Предметно-действенное мышление - это мышление, связанное с практическими, непосредственными действиями с предметами (для детей раннего возраста мыслить о предметах -значит действовать, манипулировать ими). Наглядно-образное мышление -то, которое необходимо опирается на восприятие или представление (характерно для дошкольников и младших школьников). И, наконец, абстрактное мышление - оперирование понятиями, лишенными непосредственной наглядности, присущей восприятию и представлениям (характеризует старших школьников и взрослых).

Учитывая эти возрастные особенности, в 7 классе задачи на построение решаются в два этапа: анализ и построение, т.е. учащиеся еще не могут самостоятельно проводить доказательство и исследование задач. Эти этапы учитель может опустить, а так как в этом возрасте преобладает наглядно-

образное   мышление,   поэтому   подбираются   задачи,   решение   которых   в основном строится на основе чтения чертежа (что мы видим на чертеже). Для примера  привожу  задачу №154  (а) для  7-го  класса.  Анализ  проводится следующим образом

Дано:  ABC.

Построить: АК - биссектрису А.

Анализ:

1.  Что дано?

2.  Что нужно построить?

3.  Что называется биссектрисой?

4.  Скажите, точка А будет принадлежать биссектрисе АК?

1. Биссектриса угла – это отрезок?
2. Сколько должно быть известно точек, чтобы построить отрезок?
3. Следовательно, задача сводится к нахождению какой точки?
4. Как расположена эта точка?

1. Как можно построить эту точку?

10.  Как строим первую окружность?

11.  Какой радиус берем?

12.  Как строим вторую окружность?

13.  Где будет искомая точка?

14.  Как построить искомую биссектрису?

ABC

биссектрису А, АК

геометрическое место точек

да

да

две точки

принадлежащей отрезку АК

на одинаковом расстоянии от

сторон АВ и АС

пересечением двух окружностей

W₁(A;2)

Больше половины стороны АС

W₂(A;2)

На пересечении окружности L

ABC

15.  АК - биссектриса А?

16.  Мы построили, что следует в задаче?

да

да